The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__zeros → cons(0, zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__length(nil) → 0
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0) → 0
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)

Rewrite Strategy: FULL

(1) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(2) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(3) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(4) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
s :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
hole_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length

(5) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__U11, a__U12, a__length, mark

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__length = mark

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
s :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
hole_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U12, a__U11, a__length, mark

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__length = mark

(7) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U12.

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
s :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
hole_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__length, a__U11, mark

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__length = mark

(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__length.

(10) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
s :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
hole_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U11, mark

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__length = mark

(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U11.

(12) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
s :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
hole_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
mark

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__length = mark

(13) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(n595_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(n595_0), rt ∈ Ω(1 + n595₀)

Induction Base:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(0)) →_R^Ω(1)
0'

Induction Step:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(+(n595_0, 1))) →_R^Ω(1)
cons(mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(n595_0)), 0') →_IH
cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(c596_0), 0')

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(14) Complex Obligation (BEST)

(15) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
s :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
hole_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length

Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(n595_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(n595_0), rt ∈ Ω(1 + n595₀)

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U12, a__U11, a__length

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__length = mark

(16) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U12.

(17) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
s :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
hole_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length

Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(n595_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(n595_0), rt ∈ Ω(1 + n595₀)

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__length, a__U11

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__length = mark

(18) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__length.

(19) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
s :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
hole_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length

Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(n595_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(n595_0), rt ∈ Ω(1 + n595₀)

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(x), 0')

The following defined symbols remain to be analysed:
a__U11

They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__length
a__U11 = mark
a__U12 = a__length
a__U12 = mark
a__length = mark

(20) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U11.

(21) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
s :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
hole_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length

Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(n595_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(n595_0), rt ∈ Ω(1 + n595₀)

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(x), 0')

No more defined symbols left to analyse.

(22) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(n595_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(n595_0), rt ∈ Ω(1 + n595₀)

(23) BOUNDS(n^1, INF)

(24) Obligation:

TRS:
Rules:
a__zeros → cons(0', zeros)
a__U11(tt, L) → a__U12(tt, L)
a__U12(tt, L) → s(a__length(mark(L)))
a__length(nil) → 0'
a__length(cons(N, L)) → a__U11(tt, L)
mark(zeros) → a__zeros
mark(U11(X1, X2)) → a__U11(mark(X1), X2)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(length(X)) → a__length(mark(X))
mark(cons(X1, X2)) → cons(mark(X1), X2)
mark(0') → 0'
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(nil) → nil
a__zeros → zeros
a__U11(X1, X2) → U11(X1, X2)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__length(X) → length(X)

Types:
a__zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
cons :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
0' :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
zeros :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
tt :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
s :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
a__length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
mark :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
nil :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
U11 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
U12 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
length :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
hole_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length1_0 :: 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0 :: Nat → 0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length

Lemmas:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(n595_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(n595_0), rt ∈ Ω(1 + n595₀)

Generator Equations:
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(0) ⇔ 0'
gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(+(x, 1)) ⇔ cons(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(x), 0')

No more defined symbols left to analyse.

(25) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
mark(gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(n595_0)) → gen_0':zeros:cons:tt:s:nil:U11:U12:length2_0(n595_0), rt ∈ Ω(1 + n595₀)

(26) BOUNDS(n^1, INF)